Kapitola 2. Posloupnosti

2.1. Úvodní definice

Definice 2.1: Posloupností (a_{n})_{n=n_{0}}^{∞} rozumíme předpis, který každému n ∈ N, n ≥ n_{0} přiřadí

reálné resp komplexní číslo a_{n}. Toto a_{n} nazveme n-tým členem posloupnosti (a_{n})_{n=n_{0}}^{∞} .

Definice 2.2: Posloupnost (a_{n}) je shora omezená, je-li {a_{n}; n ∈ N} shora omezená. Posloupnost (a_{n}) je zdola omezená, je-li {a_{n}; n ∈ N} zdola omezená. Posloupnost (a_{n}) je omezená, je-li shora omezená a zdola omezená.

Definice 2.3: Posloupnost (a_{n}) je klesající, jestliže ∀n ∈ N : a_{n} > a_{n+1} . Posloupnost (a_{n}) je rostoucí, jestliže ∀n ∈ N : a_{n} < a_{n+1} . Posloupnost (a_{n}) je nerostoucí, jestliže ∀n ∈ N : a_{n} ≥ a_{n+1} . Posloupnost (a_{n}) je neklesající, jestliže ∀n ∈ N : a_{n} ≤ a_{n+1} . Posloupnost (a_{n}) je monotonní, jestliže je nerostoucí nebo neklesající. Posloupnost (a_{n}) je ryze monotonní, jestliže je rostoucí nebo klesající.

2.2. Konvergentní posloupnosti

Definice 2.4: Řekneme, že posloupnost (a_{n}) má limitu a ∈ R (značíme lim_{n→∞} a_{n} = a nebo

a_{n} → a), jestliže

∀ϵ ∈ (0, ∞)∃n_{0} ∈ N∀n ≥ n_{0} : |a_{n} − a| < ϵ.

Poznámka Posloupnosti, které mají limitu a ∈ R nazveme konvergentní posloupnosti nebo

posloupnosti s vlastní limitou.

Věta 2.1: (Jednoznačnost limity) Jestliže a_{n} → a a současně a_{n} → b, pak a = b.

Věta 2.2: (Konvergence a omezenost) Je-li posloupnost (a_{n}) konvergentní, pak je omezená.

Důsledek: Jestliže a_{n} → a > 0, pak existuje n_{0} tak, že pro všechna n ≥ n_{0} je a_{n} > \frac{a}{2}.

Věta 2.3: (Aritmetika limit) Jestliže a_{n} → a, b_{n} → b, a, b ∈ R, pak platí

(i) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b, (ii) lim_{n→∞}(a_{n}.b_{n}) = a.b. (iii) Je-li navíc b ≠ 0, pak lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}.

Poznámky Větu 3 je možné v několika směrech zobecnit. Často budeme používat tato

tvrzení: a. Je-li (a_{n}) omezená, b_{n} → 0, pak a_{n}.b_{n} → 0, b. a_{n} → a ⇒ |a_{n}| → |a|, c. a_{n} → 0 ⇔ |a_{n}| → |a|.

Věta 2.4: (Limita a nerovnosti) Nechť a_{n} → a, b_{n} → b. Pak platí Jestliže ∃n_{0}∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≤ b_{n}, pak a ≤ b. Jestliže a < b, pak ∃n_{0}∀n ≥ n_{0} : a_{n} < b_{n}.

Věta 2.5: (Věta o dvou policajtech) Nechť ∃n_{0}∀n ≥ n_{0} : a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} a a_{n} → a, c_{n} → a. Pak existuje lim_{n→∞} b_{n} = a.

2.3. Nevlastní limity

Definice 2.5 Označme R^{∗} = R ∪ {∞, −∞}.Pro každé ϵ > 0 definujeme U(∞, ϵ) = P (∞, ϵ) = (\frac{1}{ϵ} , ∞), U(−∞, ϵ) = P (−∞, ϵ) = (−∞, −\frac{1}{ϵ}).

Definice 2.6: Buď a ∈ R^{∗}. Řekneme, že posloupnost (a_{n}) má limitu a (značíme lim_{n→∞} a_{n} = a

nebo a_{n} → a), jestliže

∀ϵ ∈ (0, ∞) ∃n_{0} ∈ N ∀n ≥ n_{0} : a_{n} ∈ U(a, ϵ).

Poznámka: I pro nevlastní limity platí věta o jednoznačnosti limity, posloupnost, která má

nevlastní limitu, však není omezená.

Věta 2.6: (Aritmetika limit znovu) Buďte a, b, ∈ R^{∗}, a_{n} → a, b_{n} → b. Pak

(i) a_{n} + b_{n} → a + b, (ii) a_{n}.b_{n} → a.b, (iii) \frac{a_{n}}{b_{n}} → \frac{a}{b}, kdykoliv mají výrazy na pravé straně smysl.

Poznámky

(i) Nejsou definovány (nemají smysl) výrazy ∞ − ∞, 0.∞, \frac{a}{0}, \frac{∞}{∞}. (ii) Jestliže a_{n} → ∞, (b_{n}) je zdola omezená, pak lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = ∞. (iii) Jestliže a_{n} → ∞, (b_{n}) je zdola omezená kladnou konstantou, pak

lim_{n→∞}(a_{n}.b_{n}) = ∞.

(iv) Je-li lim_{n→∞} b_{n} = 0, b_{n} > 0 pro všechna dostatečně velká n, pak \frac{1}{b_{n}} → ∞.

2.4. Hlubší věty o posloupnostech

Definice 2.7 Buď M ≠ ∅. Není-li M shora omezená, definujeme supM = ∞, není-li M zdola

omezená, definujeme inf M = −∞. Dále položme sup∅ = −∞, inf ∅ = ∞.

Věta 2.7: (O limitě monotonní posloupnosti) Buď (a_{n}) monotonní. Pak existuje a ∈ R^{∗} tak, že a_{n} → a.

Definice 2.8 (Vybraná posloupnost) Buď (n_{k})_{k=1}^{∞} rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost (b_{k})_{k=1}^{∞} je

vybraná posloupnost (z posloupnosti (a_{n})_{n=1}^{∞} ), jestliže

b_{k} = a_{n_{k}}, ∀k ∈ N.

Lemma 2.1: Je-li a_{n} → a, (a_{n_{k}}) vybraná posloupnost, pak a_{n_{k}} → a.

Definice 2.9 (Hromadné hodnoty posloupnosti) a ∈ R^{∗} je hromadnou hodnotou posloupnosti (a_{n}), jestliže existuje vybraná

posloupnost (a_{n_{k}}) tak, že a_{n_{k}} → a. Množinu všech hromadných hodnot posloupnosti (a_{n}) značíme H((a_{n})).

Definice 2.11 (Limita superior a inferior) Je-li posloupnost (a_{n}) shora omezená, definujeme limitu superior (značíme \overline{lim}a_{n}

nebo limsupa_{n} ) takto:

\overline{lim}a_{n} = limb_{n}, kde b_{n} = sup\{a_{k}; k ≥ n\}.

Není-li (a_{n}) shora omezená, definujeme \overline{lim}a_{n} = ∞. Je-li posloupnost (a_{n}) zdola omezená, definujeme limitu inferior (značíme \underline{lim}

nebo liminfa_{n}) takto:

\underline{lim}a_{n} = limc_{n}, kde c_{n} = inf\{a_{k}; k ≥ n\}.

Není-li (a_{n}) zdola omezená, definujeme \underline{lim}a_{n} = −∞.

Věta 2.9: (Limita superior a limita inferior jsou hromadné hodnoty) Buď (a_{n}) posloupnost reálných čísel Pak \overline{lim}a_{n} je maximem množiny H((a_{n})) a

\underline{lim}a_{n} je minimem množiny H((a_{n})).

Věta 2.10: (Bolzano-Weierstrassova) Buď (a_{n}) omezená posloupnost. Pak existuje vybraná posloupnost (a_{n_{k}}), která

je konvergentní.

Definice 2.9 (Cauchyovské posloupnosti) Řekneme, že posloupnost (a_{n}) je cauchyovská (splňuje BCP), jestliže

∀ϵ > 0 ∃n_{0} ∀n, m ≥ n_{0} : |a_{n} − a_{m}| < ϵ.

Lemma 2.2: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská.

Lemma 2.3: Každá cauchyovská posloupnost je omezená.

Lemma 2.4: Je-li (a_{n}) cauchyovská a vybraná posloupnost (a_{n_{k}}) konvergentní, pak je i (a_{n})

konvergentní.

Věta 2.11: (Bolzano-Cauchyova) Posloupnost (a_{n}) je konvergentní právě tehdy, je-li cauchyovská.